Question

如圖所示，直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=1，CD=2．
（1）證明：BD⊥平面BCF；
（2）設二面角A-BE-C的平面角為θ，求cosθ的值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）如圖所示，取CD的中點M，連接BM．可得四邊形ABMD是平行四邊形．可證∠DBC=90°．利用平面ABCD⊥平面
CDEF，可得ED⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD．利用三垂線定理可證BD⊥平面BCF．
（2）通過建立空間直角坐標系，利用平面法向量的夾角即可得出二面角的大�。�

解答： （1）證明：如圖所示，取CD的中點M，連接BM．
∵DM∥AB，DM=

1

2

CD=AB，
∴四邊形ABMD是平行四邊形．
∴MB=AD=

1

2

CD．
∴∠DBC=90°．即DB⊥BC．
∵ED⊥DC，平面ABCD⊥平面CDEF，
∴ED⊥平面ABCD．
∵FC∥ED．
∴FC⊥平面ABCD．
∴DB⊥BF．
∵BF∩BC=B．
∴BD⊥平面BCF．
（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標系．則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，0，1）．
∴

AB

=（0，1，0），

BE

=（-1，-1，1），

BC

=（-1，1，0）．
設平面ABE，平面BEC的法向量分別為

n

，

m

．
設

n

=（x，y，z），則

n • AB =y=0 n • BE =-x-y+z=0

，取x=1，解得y=0，z=1．∴

n

=（1，0，1）．
同理可得：

m

=（1，1，2）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

3

6 × 2

=

3

2

．
由圖可知：二面角A-BE-C的平面角θ為鈍角，
∴cosθ=-

3

2

．

點評：本題考查了三垂線定理、線面與面面垂直的判定定理、平行四邊形的判定與性質定理、線面角與二面角、勾股定理、直角三角形的邊角關系、利用平面法向量的夾角求二面角，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．