Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，且S_n=

1-an

2

（n∈N^*），數(shù)列{b_n}是公差d＞0的等差數(shù)列，且b₃、b₅是方程x²-14x+45=0的兩根．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記c_n=a_nb_n，求證：c_n+1≤c_n；
（Ⅲ）求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用已知條件求出數(shù)列數(shù)列{a_n}的首項，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，然后求出通項公式；b₃、b₅是方程x²-14x+45=0的兩根，求出這兩項，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）通過c_n=a_nb_n，化簡求解，然后利用作差法證明：c_n+1≤c_n；
（Ⅲ）利用錯位相減法直接求解數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵2S_n=1-a_n，∴當(dāng)n=1時，2a₁=1-a₁，
所以a1=

1

3

當(dāng)n=1時，2S_n=1-a_n…①，2S_n-1=1-a_n-1…②，
①-②得：2a_n=-a_n+a_n-1，
所以3a_n=a_n-1，∴

an

an-1

=

1

3

，
所以數(shù)列{a_n}是首項為a1=

1

3

，公比q=

1

3

的等比數(shù)列，
∴an=a1qn-1=

1

3

•(

1

3

)n-1=

1

3n

因為b₃、b₅是方程x²-14x+45=0的兩根，且公差d＞0，
∴b₃=5，b₅=9，

b3=b1+2d=5 b5=b1+4d=9

⇒

b1=1 d=2

，
所以{b_n}的通項公式為b_n=b₁+（n-1）d=2n-1
（Ⅱ）證明：cn=anbn=

(2n-1)

3n

，
cn+1-cn=

(2n+1)

3n+1

-

(2n-1)

3n

=

4(1-n)

3n+1

，
∵n∈N^*，∴cn+1-cn=

4(1-n)

3n+1

≤0，
所以c_n+1≤c_n
（Ⅲ）因為cn=anbn=

(2n-1)

3n

，
所以Tn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

(2n-1)

3n

…①，

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+…+

(2n-3)

3n

+

(2n-1)

3n+1

…②
①-②得：

2

3

Tn=

1

3

+2(

1

32

+

3

33

+…+

1

3n

)-

(2n-1)

3n+1

=

1

3

+2×

1 32 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-

(2n-1)

3n+1

=

2

3

-

2(n+1)

3n+1

所以，Tn=1-

n+1

3n

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項公式與求和，考查錯位相減法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．