已知函數(shù)f(x)=2alnx-x+
1
x
(a∈R,且a≠0);g(x)=-x2-x+2
2
b(b∈R)
(Ⅰ)若f(x)是在定義域上有極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a=
2
時,若對?x1∈[1,e],總?x2∈[1,e],使得f(x1)<g(x2),求實數(shù)b的取值范圍.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))
(Ⅲ)對?n∈N,且n≥2,證明:ln(n。4<(n-1)(n+2)
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)先根據(jù)對數(shù)函數(shù)求出定義域,再求導(dǎo),得到x2-2ax+1=0有兩不等正根,繼而求出a的范圍.
(Ⅱ)等價于fmax(x)<gmax(x),分別利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.
(Ⅲ)先求導(dǎo),得到故f(x)在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞減,得到對?n∈N,且n≥2,總有2lnm≤m-
1
m
<m,化簡整理得到結(jié)論.
解答: (Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+∞),要f(x)在定義域內(nèi)有極值,
則f′(x)=
2a
x
-1-
1
x2
=
-x2+2ax-1
x2
=0,
∴x2-2ax+1=0有兩不等正根,
a>0
4a2-4>0

解得a>1,
故實數(shù)a的取值范圍(1,+∞)
 (Ⅱ)a=
2
時,
∴f(x)=2
2
lnx-x+
1
x
,
∵對?x1∈[1,e],總?x2∈[1,e],使得f(x1)<g(x2),
則只需fmax(x)<gmax(x),
由f′(x)=
-x2+2
2
x-1
x2
>0,
解得
2
-1<x<
2
+1,
得函數(shù)f(x)在(1,
2
+1)上遞增,在(
2
+1,e)上遞減,所以函數(shù)f(x)在x=
2
+1處有最大值;   
∴fmax(x)=f(
2
+1)=2
2
ln(
2
+1
)-2;
又g(x)在(1,e),
故gmax(x)=g(1)=2
2
b-2
∴2
2
ln(
2
+1
)-2>2
2
b-2,
∴b>ln(
2
+1)
(Ⅲ)當(dāng)a=1時,f(x)=2lnx-x+
1
x

f′(x)=
-x2+2x-1
x2
≤0恒成立,
故f(x)在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞減,
故當(dāng)x≥1時,f(x)=2lnx-x+
1
x
≤f(1)=0
即2lnx≤x-
1
x
,
所以對?n∈N,且n≥2,總有2lnm≤m-
1
m
<m,
故有2(ln2+ln3+…+lnn)<1+2+3+…+n,
∴2ln(n!)<
(n+2)(n-1)
2

∴l(xiāng)n(n。4<(n-1)(n+2)
問題得以證明.
點評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系,本題屬于中檔題.
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符合條件{a}⊆p⊆{a,b,c}的p有( 。
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x+y≥0
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AP
AC
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D、事件A、B互斥是P(A∪B)=P(A)+P(B)的充分不必要條件

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3
3
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(1)求雙曲線C的方程;
(2)過雙曲線C的焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交雙曲線C于A,B兩點,線段AB的垂直平分線交x軸于點M,問:
|AB|
|FM|
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1
2

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(2)若直線l與橢圓C1相切于第一象限內(nèi),且直線l與兩坐標軸分別相交與A,B兩點,試探究當(dāng)三角形AOB的面積最小值時,拋物線C2上是否存在點到直線l的距離為
2
42
21

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為了了解禿頂與患心臟病是否有關(guān),某校學(xué)生隨機調(diào)查了醫(yī)院中因患心臟病而住院45名男性病人;另外不是因患心臟病而住院55名男性病人,得到相應(yīng)的2×2列聯(lián)表:
患心臟病不患心臟病
禿頂155
不禿頂3050
2×2列聯(lián)表
(1)根據(jù)2×2列聯(lián)表補全相應(yīng)的等高條形圖(用陰影表示);
(2)根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗,能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為禿頂與患心臟病有關(guān)?

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1
an
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(2)求證:不存在a,使anan+1>0對任意n∈N*恒成立.

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