Question

已知函數(shù)f（x）=2alnx-x+

1

x

（a∈R，且a≠0）；g（x）=-x²-x+2

2

b（b∈R）
（Ⅰ）若f（x）是在定義域上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=

2

時，若對?x₁∈[1，e]，總?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）＜g（x₂），求實數(shù)b的取值范圍．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅲ）對?n∈N，且n≥2，證明：ln（n�。�⁴＜（n-1）（n+2）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先根據(jù)對數(shù)函數(shù)求出定義域，再求導(dǎo)，得到x²-2ax+1=0有兩不等正根，繼而求出a的范圍．
（Ⅱ）等價于f_max（x）＜g_max（x），分別利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可．
（Ⅲ）先求導(dǎo)，得到故f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞減，得到對?n∈N，且n≥2，總有2lnm≤m-

1

m

＜m，化簡整理得到結(jié)論．

解答： （Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），要f（x）在定義域內(nèi)有極值，
則f′（x）=

2a

x

-1-

1

x2

=

-x2+2ax-1

x2

=0，
∴x²-2ax+1=0有兩不等正根，
∴

a＞0 4a2-4＞0

解得a＞1，
故實數(shù)a的取值范圍（1，+∞）
 （Ⅱ）a=

2

時，
∴f（x）=2

2

lnx-x+

1

x

，
∵對?x₁∈[1，e]，總?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）＜g（x₂），
則只需f_max（x）＜g_max（x），
由f′（x）=

-x2+2 2 x-1

x2

＞0，
解得

2

-1＜x＜

2

+1，
得函數(shù)f（x）在（1，

2

+1）上遞增，在（

2

+1，e）上遞減，所以函數(shù)f（x）在x=

2

+1處有最大值；   
∴f_max（x）=f（

2

+1）=2

2

ln（

2

+1）-2；
又g（x）在（1，e），
故g_max（x）=g（1）=2

2

b-2
∴2

2

ln（

2

+1）-2＞2

2

b-2，
∴b＞ln（

2

+1）
（Ⅲ）當(dāng)a=1時，f（x）=2lnx-x+

1

x

，
f′（x）=

-x2+2x-1

x2

≤0恒成立，
故f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x≥1時，f（x）=2lnx-x+

1

x

≤f（1）=0
即2lnx≤x-

1

x

，
所以對?n∈N，且n≥2，總有2lnm≤m-

1

m

＜m，
故有2（ln2+ln3+…+lnn）＜1+2+3+…+n，
∴2ln（n!）＜

(n+2)(n-1)

2

，
∴l(xiāng)n（n�。�⁴＜（n-1）（n+2）
問題得以證明．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，本題屬于中檔題．