【題目】在三棱錐中，平面，，，，是的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，且.

（1）求證：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由已知易得是的中點(diǎn)，由平行平面內(nèi)直線，證得平面；

（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用，求得。

（1）證明：因?yàn)?/span>，，，

所以.

因?yàn)?/span>，所以是的斜邊上的中線，

所以是的中點(diǎn).

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）解法一：由（1）得，

.

.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>平面，所以.

又，，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.由（1）知，所以.

在中，，

所以.

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

則由，得，即.

解得.即點(diǎn)到平面的距離為.

解法二：因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.

因?yàn)?/span>平面，所以.

又，，所以平面.

由（1）知，所以平面.又平面，

所以平面平面.

過作，垂足為，則平面，

所以的長即為點(diǎn)到平面的距離.

在中，由得.

所以點(diǎn)到平面的距離為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：

1

2

3

4

5

6

7

8

112

61

44.5

35

30.5

28

25

24

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.

觀察散點(diǎn)圖，兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對兩個變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與的相關(guān)系數(shù).

參考數(shù)據(jù)（其中）：

183.4

0.34

0.115

1.53

360

22385.5

61.4

0.135

（1）用反比例函數(shù)模型求關(guān)于的回歸方程；

（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到0.01），并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品的非原料成本；

（3）該企業(yè)采取訂單生產(chǎn)模式（根據(jù)訂單數(shù)量進(jìn)行生產(chǎn)，即產(chǎn)品全部售出）.根據(jù)市場調(diào)研數(shù)據(jù)，若該產(chǎn)品單價定為100元，則簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2；若單價定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為10元，根據(jù)（2）的結(jié)果，企業(yè)要想獲得更高利潤，產(chǎn)品單價應(yīng)選擇100元還是90元，請說明理由.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，，相關(guān)系數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知動圓過定點(diǎn)且在軸上截得的弦長為4。

（1）求動圓的圓心的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的動直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，記的面積為的面積為，求的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，．

（1）求的取值范圍；

（2）證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的值；

（3）記函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018 年1月16日，由新華網(wǎng)和中國財經(jīng)領(lǐng)袖聯(lián)盟聯(lián)合主辦的2017中國財經(jīng)年度人物評選結(jié)果揭曉，某知名網(wǎng)站財經(jīng)頻道為了解公眾對這些年度人物是否了解，利用網(wǎng)絡(luò)平臺進(jìn)行了調(diào)查，并從參與調(diào)查者中隨機(jī)選出人，把這人分為 兩類（類表示對這些年度人物比較了解，類表示對這些年度人物不太了解），并制成如下表格：

年齡段

歲～歲

歲～歲

歲～歲

歲～歲

人數(shù)

類所占比例

（1）若按照年齡段進(jìn)行分層抽樣，從這人中選出人進(jìn)行訪談，并從這人中隨機(jī)選出兩名幸運(yùn)者給予獎勵.求其中一名幸運(yùn)者的年齡在歲～歲之間，另一名幸運(yùn)者的年齡在歲～歲之間的概率；(注：從人中隨機(jī)選出人,共有種不同選法)

（2）如果把年齡在 歲～歲之間的人稱為青少年，年齡在歲～歲之間的人稱為中老年，則能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為青少年與中老年人在對財經(jīng)年度人物的了解程度上有差異？

參考數(shù)據(jù)：

，其中

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過橢圓的左焦點(diǎn)，作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn).

（1）若原點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn).設(shè)的斜率為，則是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為，橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個焦點(diǎn)的距離之和為6．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線 與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)（0，1），且=，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，射線和均為筆直的公路，扇形區(qū)域（含邊界）是一蔬菜種植園，其中、分別在射線和上.經(jīng)測量得，扇形的圓心角（即）為、半徑為1千米.為了方便菜農(nóng)經(jīng)營，打算在扇形區(qū)域外修建一條公路，分別與射線、交于、兩點(diǎn)，并要求與扇形弧相切于點(diǎn).設(shè)（單位：弧度），假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計(jì).

（1）試將公路的長度表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；

（2）試確定的值，使得公路的長度最小，并求出其最小值.

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