Question

【題目】已知過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，作斜率為的直線(xiàn)，交橢圓于兩點(diǎn).

（1）若原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求直線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于另一點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于另一點(diǎn).設(shè)的斜率為，則是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)l的方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求得，即可得到所求直線(xiàn)的方程；

(2)設(shè)，，，，設(shè)直線(xiàn)AM的方程為，

聯(lián)立方程組，根據(jù)根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系，求得，所以，進(jìn)而得到，同理得到，化簡(jiǎn)得到，即可得到結(jié)論．

(1)由橢圓，可知，

所以可設(shè)過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)l的方程為，

即，設(shè)原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為d，則，

依題意有，

所以所求的直線(xiàn)l的方程為或.

(2)設(shè)，，，，

因?yàn)辄c(diǎn)，所以可設(shè)直線(xiàn)AM的方程為，

聯(lián)立方程，消去y得，

整理，得.（*）

所以，是方程（*）的兩實(shí)根，所以，所以，

所以.

所以

同理，，即.

所以

，

所以（定值）.