Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求a₁的值，并證明數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=log₂

an

n+1

，數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和為B_n，若存在整數(shù)m，使對(duì)任意n∈N*且n≥2，都有B_3n-B_n＞

m

20

成立，求m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2²，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．可得Sn-1=2an-1-2n．兩式相減可得

an

2

-

an-1

2n-1

=1．即可證明．
（2）由（1）可得

an

2n

=

a1

21

+（n-1）=n+1．可得an=(n+1)•2n．b_n=log₂

an

n+1

=log2

(n+1)•2n

n+1

=n，B_n=1+

1

2

+…+

1

n

，B_3n-B_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

．證明為單調(diào)遞增數(shù)列即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2²，解得a₁=4．
當(dāng)n≥2時(shí)，由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．可得Sn-1=2an-1-2n．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1．
∴數(shù)列{

an

2n

}是以首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）可得

an

2n

=

a1

21

+（n-1）=n+1．
∴an=(n+1)•2n．
∴b_n=log₂

an

n+1

=log2

(n+1)•2n

n+1

=n，
∴B_n=1+

1

2

+…+

1

n

，
則B_3n-B_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

．
令f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

．
則f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

+

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

，
∴f（n+1）-f（n）=

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

-

1

n+1

=

1

3n+1

+

1

3n+2

-

2

3n+3

＞

1

3n+3

+

1

3n+3

-

2

3n+3

=0．
即f（n+1）＞f（n），
∴數(shù)列{f（n）}為遞增數(shù)列．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）的最小值為f（2）=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

．
據(jù)題意，

m

20

＜

19

20

，即m＜19．
又m為整數(shù)，故m的最大值為18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．