Question

已知M={x|-2＜x＜5}，N={x|a+1≤x≤2a-1}
（Ⅰ）是否存在實數a使得M∩N=M，若不存在，請說明理由，若存在，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數a使得M∪N=M，若不存在，請說明理由，若存在，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：交集及其運算,并集及其運算

專題：集合

分析：（Ⅰ）若M∩N=M，便可得到M⊆N，所以a應滿足

a+1≤-2 2a-1≥5

，容易判斷出該不等式組無解，所以不存在a使得M∩N=M；
（Ⅱ）若M∪N=M，便得到N⊆M，所以需討論N=∅和N≠∅：N=∅時，a+1＞2a-1，a＜2；N≠∅時，則a需滿足

a+1≤2a-1 a+1＞-2 2a-1＜5

，解該不等式組并合并a＜2即得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）若M∩N=M，則M⊆N，所以：

a+1≤-2 2a-1≥5

，解得，a∈∅；
∴不存在a使得M∩N=M；
（Ⅱ）若M∪N=M，則N⊆M，所以：
（1）若N=∅，則a+1＞2a-1；
∴a＜2，此時滿足N⊆M；
（2）若N≠∅，則：

a+1≤2a-1 a+1＞-2 2a-1＜5

，解得，2≤a＜3；
綜合（1）（2）得a的取值范圍為（-∞，3）．

點評：考查交集、子集、并集的概念，并且不要漏了空集的情況．