Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與直線(xiàn)相切．
（Ⅰ）求圓O的方程；
（Ⅱ）直線(xiàn)l：y=kx+3與圓O交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，在圓O上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形OAMB為菱形，若存在，求出此時(shí)直線(xiàn)l的斜率；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（本小題共13分）
解：（Ⅰ）設(shè)圓O的半徑為r，圓心為（0，0），
∵直線(xiàn)x-y-4=0與圓O相切，
∴d=r==2，…（3分）
則圓O的方程為x²+y²=4；…（5分）
（Ⅱ）在圓O上存在一點(diǎn)M，使得四邊形OAMB為菱形，理由為：
法1：∵直線(xiàn)l：y=kx+3與圓O相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，
∴圓心O到直線(xiàn)l的距離d=＜r=2，
解得：k＞或k＜-，…（7分）
假設(shè)存在點(diǎn)M，使得四邊形OAMB為菱形，…（8分）
則OM與AB互相垂直且平分，…（9分）
∴圓心O到直線(xiàn)l：y=kx+3的距離d=|OM|=1，…（10分）
即d==1，整理得：k²=8，…（11分）
解得：k=±2，經(jīng)驗(yàn)證滿(mǎn)足條件，…（12分）
則存在點(diǎn)M，使得四邊形OAMB為菱形；…（13分）
法2：記OM與AB交于點(diǎn)C（x₀，y₀），
∵直線(xiàn)l斜率為k，顯然k≠0，
∴OM直線(xiàn)方程為y=-x，…（7分）
將直線(xiàn)l與直線(xiàn)OM聯(lián)立得：
，
解得：，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（，），…（9分）
又點(diǎn)M在圓上，將M坐標(biāo)代入圓方程得：（）²+（）²=4，
解得：k²=8，…（11分）
解得：k=±2，經(jīng)驗(yàn)證滿(mǎn)足條件，…（12分）
則存在點(diǎn)M，使得四邊形OAMB為菱形．…（13分）
分析：（Ⅰ）設(shè)圓O的半徑為r，由圓心為原點(diǎn)（0，0），根據(jù)已知直線(xiàn)與圓O相切，得到圓心到直線(xiàn)的距離d=r，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心O到已知直線(xiàn)的距離d，即為圓的半徑r，由圓心和半徑寫(xiě)出圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（Ⅱ）在圓O上存在一點(diǎn)M，使得四邊形OAMB為菱形．理由為：
法1：由直線(xiàn)l與圓O相交，得到圓心到直線(xiàn)l的距離d小于圓的半徑r，利用關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，假設(shè)存在點(diǎn)M，使得四邊形OAMB為菱形，利用菱形的性質(zhì)得到對(duì)角線(xiàn)OM與AB垂直且平分，可得出圓心O到直線(xiàn)l的距離d等于|OM|的一半，即為半徑的一半，根據(jù)半徑求出d的值，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，代入k范圍中檢驗(yàn)，滿(mǎn)足條件，故存在點(diǎn)M，使得四邊形OAMB為菱形；
法2：記OM與AB交于點(diǎn)C（x₀，y₀），由菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，根據(jù)直線(xiàn)l的斜率為k（k不為0），利用兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出直線(xiàn)OM的斜率，確定出直線(xiàn)OM的方程，將直線(xiàn)OM的方程與直線(xiàn)l方程聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解表示出x₀與y₀，確定出M的坐標(biāo)，將M的坐標(biāo)代入圓O的方程中，得到關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足條件，故存在點(diǎn)M，使得四邊形OAMB為菱形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，兩直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，以及兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率滿(mǎn)足的關(guān)系，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑；當(dāng)直線(xiàn)與圓相交時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離小于圓的半徑；當(dāng)直線(xiàn)與圓相離時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離大于圓的半徑．