Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：{

1

an

+

1

2

}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n，記其前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若不等式2^n-1λ＜2^n-1T_n+n對(duì)一切n∈N^*恒成立對(duì)一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得

1

an+1

+

1

2

=3（

1

an

+

1

2

），由此能證明{

1

an

+

1

2

}是以

3

2

為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而得到a_n=

2

3n-1

．
（Ⅱ）由b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n=

n

2n-1

，利用錯(cuò)位相減法能求出T_n=4-

n+2

2n-1

，由此能求出不等式2^n-1λ＜2^n-1T_n+n對(duì)一切n∈N^*恒成立的λ的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*），
∴

1

an+1

+

1

2

=3（

1

an

+

1

2

），
又

1

a1

+

1

2

=

3

2

，∴{

1

an

+

1

2

}是以

3

2

為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
∴

1

an

+

1

2

=

3

2

×3n-1=

3n

2

，
∴a_n=

2

3n-1

．

（Ⅱ）解：∵b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n=

n

2n-1

，
∴T_n=1×

1

20

+2×

1

2

+3×

1

22

+…+n×

1

2n-1

，①

1

2

Tn=1×

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n×

1

2n

，②
①-②，得

1

2

Tn=

1

20

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
∴T_n=4-

n+2

2n-1

，
∵不等式2^n-1λ＜2^n-1T_n+n對(duì)一切n∈N^*恒成立，
∴λ＜Tn+

n

2n-1

對(duì)一切n∈N^*恒成立，
∴λ＜4-

1

2n-2

對(duì)一切n∈N^*恒成立，
設(shè)g（n）=4-

1

2n-2

，則g（n）是遞增函數(shù)，
∴λ＜g（1）=2．∴λ＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．