Question

已知A、B、C三點(diǎn)在球心為O，半徑為3的球面上，A、B兩點(diǎn)間的球面距離為π，若三棱錐O-ABC為正三棱錐，則該正三棱錐的體積為（　�。�

• A．36
• B．

  27 2

  4

• C．

  9 2

  4

• D．

  3 2

  4

Answer 1

分析：三棱錐O-ABC為正三棱錐，求出AB兩點(diǎn)的球面距離均為π．推出∠AOC=∠AOB=∠BOC=60°，推出三棱錐為正四面體，然后求正四面體體積．

解答：解：由題意畫(huà)出圖形，AB兩點(diǎn)的球面距離均為π．所以∠AOB=

π

3

=60°，
三棱錐O-ABC為正三棱錐，所以∠AOC=∠AOB=∠BOC=60°，
推出三棱錐為正四面體，三棱錐是正四面體，棱長(zhǎng)為3，如圖，
所以正四面體的體積：

1

3

×

3

4

×32×

32-( 3 )2

=

27 2

12

=

9 2

4

，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是基礎(chǔ)題．