Question

我們將不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只有一個公共點的直線稱為拋物線的切線，這個公共點稱為切點．解決下列問題：已知拋物線x²=2py（p＞0）上的點（x₀，3）到焦點的距離等于4，直線l：y=kx+b與拋物線相交于不同的兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且|x₂-x₁|=h（h為定值）．設(shè)線段AB的中點為D，與直線l：y=kx+b平行的拋物線的切點為C．
（1）求出拋物線方程，并寫出焦點坐標、準線方程；
（2）用k、b表示出C點、D點的坐標，并證明CD垂直于x軸；
（3）求△ABC的面積，證明△ABC的面積與k、b無關(guān)，只與h有關(guān)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出3+

p

2

=4，由此能求出拋物線方程，并寫出焦點坐標、準線方程．
（2）由

y=kx+b x2=4y

，得x²-4kx-4b=0，從而求出線段AB的中點D（2k，2k²+b），設(shè)切線方程為y=kx+m，由

y=kx+m x2=4y

，得x²-4kx-4m=0，從而求出切點坐標C（2k，k²），由C、D的橫坐標相同，能證明CD垂直于x軸．
（3）由已知條件推導(dǎo)出S_△ABC=

h3

32

．由此能證明△ABC的面積與k、b無關(guān)，只與h有關(guān)．

解答： 解：（1）∵拋物線x²=2py（p＞0）上的點（x₀，3）到焦點的距離等于4，
∴3+

p

2

=4，解得p=2，
∴拋物線方程為x²=4y．…（2分）
焦點坐標F（0，1），準線方程為y=-1．…（4分）
（2）由

y=kx+b x2=4y

，消去y并整理，得：x²-4kx-4b=0，
∵直線l：y=kx+b與拋物線相交于不同的兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
且|x₂-x₁|=h（h為定值）．設(shè)線段AB的中點為D，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，∴點D（2k，2k²+b），…（6分）
設(shè)切線方程為y=kx+m，
由

y=kx+m x2=4y

，消去y并整理，得x²-4kx-4m=0，
得△=16k²+16m=0，m=-k²，切點的橫坐標為2k，得C（2k，k²），…（8分）
由于C、D的橫坐標相同，∴CD垂直于x軸．…（10分）
（3）∵h²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16k²+16b，
∴b=

h2-16k2

16

．…（12分）
S_△ABC=

1

2

|CD|•|x₂-x₁|=

1

2

h|2k2+b-k2|=

h3

32

．…（15分）
∴△ABC的面積與k、b無關(guān)，只與h有關(guān)．…（16分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查三角形的面積的求法，考查直線與x軸垂直的證明，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．