Question

已知函數(shù)f（x）=x-lnx-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程；
（Ⅱ）若x∈（0，+∞）時，f（x）≥ax-2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求切線方程，關(guān)鍵是求斜率，也就是求f（x）在x=2時的導(dǎo)數(shù)，然后利用點(diǎn)斜式，問題得以解決；
（Ⅱ）求參數(shù)的取值范圍，轉(zhuǎn)化為a≤1+

1

x

-

lnx

x

，也就是求最值的問題，問題得以解決．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，f′(x)=1-

1

x

，
∴f′(2)=1-

1

2

=

1

2

，f（2）=1-ln2，
∴函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為：y-（1-ln2）=

1

2

（x-2）
即x-2y-ln4=0
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）≥ax-2恒成立，
∴a≤1+

1

x

-

lnx

x

，
令g(x)=1+

1

x

-

lnx

x

，
則g′（x）=

lnx-2

x2

=0，
即x=e²，
可得g（x）在（0，e²）上單調(diào)遞減，在（e²，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g(x)min=g(e2)=1-

1

e2

，
即a≤1-

1

e2

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，1-

1

e2

]．

點(diǎn)評：本題綜合考察函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及恒成立問題，中等題．