已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*).
(1)求證: 數(shù)列 {+ }是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項an
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=(3n-1)an,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若不等式(-1)nλ<Tn對一切n∈N*恒成立,求λ的取值范圍.
(1) an= ;(2) -1<λ<2.
【解析】
試題分析:(1)將已知an+1=取倒數(shù)可得: +1進而利用待定系數(shù)法將此式轉化為: +=3從而可證數(shù)列 {+ }是等比數(shù)列,然后應用等比數(shù)的通項公式可求得數(shù)列{an}的通項an; (2)由(1)及已知可得bn=(3n-1)·=n· n-1,此數(shù)列是由一個等差數(shù)列{n}與一個等比數(shù)列{ n-1}對應項的積構成的一個數(shù)列,此數(shù)列的前n項和應用乘公比錯位相減法就可求得其前n項和Tn;然后研究數(shù)列{Tn}的單調性可知:{Tn}為遞增數(shù)列,最后通過討論n的奇偶性及不等式恒成立的知識就可求得λ的取值范圍.注意不等式:對一切n∈N*恒成立等價于,同理:不等式:對一切n∈N*恒成立等價于.
試題解析:(1)由題知,+1, . .1分
∴+=3, 2分
∴數(shù)列 {+ }是以3為公比以=為首項的等比數(shù)列。
∴+=·3n-1=,∴an= 5分
(2)由(1)知,bn=(3n-1)·=n· n-1,
Tn=1×1+2× 1+3× 2+…+n· n-1, 6分
Tn=1×+2× 2+…+(n-1) n-1+n n,
兩式相減得,
Tn=1++=2-,
∴Tn=4- 10分
∵Tn+1-Tn=>0,
∴{Tn}為遞增數(shù)列 .12分
①當n為正奇數(shù)時,-λ<Tn對一切正奇數(shù)成立,
∵(Tn)min=T1=1,∴-λ<1,∴λ>-1;
②當n為正偶數(shù)時,λ<Tn對一切正偶數(shù)成立,
∵(Tn)min=T2=2,∴λ<2.
綜合①②知,-1<λ<2 .14分
考點:1.等比數(shù)列;2.數(shù)列的前n項和;3不等式的恒成立.
科目:高中數(shù)學 來源:2016屆江西省高一下學期第一次段考數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
設等差數(shù)列的前n項和為,若,則( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆江西省南昌市八一、洪都高一下學期期中考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知數(shù)列的前項和為,則數(shù)列的前10項和為 ( )
A.56 B.58 C.62 D.60
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆江西省高一下學期期末考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9,…,現(xiàn)在進行如下分組,第一組有1個數(shù)為1,第二組有2個數(shù)為3、5,第三組有3個數(shù)為7、9、11,…,依次類推,則從第十組中隨機抽取一個數(shù)恰為3的倍數(shù)的概率為 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆江西省高一下學期期末考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
某同學使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時,錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸人為15,那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是( ).
A.3.5 B.-3 C.3 D.-0.5
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆江西省高一下期期中考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,△ABC的周長為+2,且sinA+sinB=sinC.(1)求邊c的長. (2)若△ABC的面積為sinC,求角C的度數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆江西省高一下期期中考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
甲、乙兩間工廠的月產值在2012年元月份時相同,甲以后每個月比前一個月增加相同的產值.乙以后每個月比前一個月增加產值的百分比相同.到2012年11月份發(fā)現(xiàn)兩間工廠的月產值又相同.比較甲、乙兩間工廠2012年6月份的月產值大小,則有( )
A.甲的產值大于乙的產值 B.甲的產值等于乙的產值
C.甲的產值小于乙的產值 D.不能確定
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆江西省高一下學期期末考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù),若對于任意的都有,則實數(shù)的取值范圍為 .
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