Question

如圖，四棱錐V-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面都是側(cè)棱長為

5

的等腰三角形．
（1）求證：平面VAC⊥平面VBD；
（2）若M，N分別為棱VA，BC的中點(diǎn)，求證：MN∥側(cè)面VCD；
（3）試求（2）中的MN與底面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)平面與平面垂直的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)線面平行的判定證明即可；
（3）先找過M與平面ABCD垂直的直線，然后找線面角進(jìn)而求解．

解答： （1）證明：如圖（圖1）連接AC，BD且設(shè)AC∩BD=O，連接VO
∵ABCD是正方形，
則AC⊥BD，且O是AC、BD之中點(diǎn)，
又由已知有VA=VB=VC=VD，
則有VO⊥BD，VO⊥AC
而VO，AC?平面VAC且VO∩AC=O，
則BD⊥平面VAC，
又BD?平面VBD，
則平面VAC⊥平面VBD
（2）如圖2，取側(cè)棱VD之中點(diǎn)E，連接ME，CE，
∵M(jìn)，N分別為棱VA，BC的中點(diǎn)，且底面ABCD是正方形
∴ME∥NC，且ME=NC，
則MNCE是平行四邊形
則MN∥EC，又MN?側(cè)面VCD，CE?平面VCD
∴MN∥側(cè)面VCD
（3）如圖3，過點(diǎn)M作MH⊥AC垂足H，連接HN
由（1）知VO⊥底面ABCD，且VO?平面VAC，
則平面VAC⊥底面ABCD，
則MH⊥底面ABCD，
∴∠MNH為MN與底面ABCD所成角
由（2）知MN=CE，而由E為VD之中點(diǎn)，且VC=VD=

5

，CD=2，
得MN=CE=

13

2

又在△VAC中可得VO=

3

，而M是VA之中點(diǎn)，
則MH=

1

2

VO=

3

2

在Rt△MNH中，sin∠MNH=

HN

MN

=

39

13

，
即MN底面ABCD所成角的正弦值為

39

13

．

點(diǎn)評：本題主要考查面面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)，線面所成角的求法．