Question

18．如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求點A到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證平面PBD⊥平面PAC，我們可以在一個平面內(nèi)尋找另一平面的垂線，即證BD⊥平面PAC．利用線線垂直，可以證得線面垂直；
（Ⅱ）先找出表示點A到平面PBD的距離的線段，AC∩BD=O，連接PO，過A作AE⊥PO交PO于E，所以AE⊥平面PBD，AE就是所求的距離，故可求；

解答 （Ⅰ）證明：由ABCD是菱形可得BD⊥AC，
因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD，又PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，又BD?平面PBD，
故平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：由題意可得：$PB=PD=\sqrt{{2^2}+{2^2}}=2\sqrt{2}$，BD=2，
所以${S_{△PBD}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{7}=\sqrt{7}$．
又${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．
所以三棱錐P-ABD的體積V=$\frac{1}{3}$S_△ABD•PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
設點A到平面PBD的距離為h，
又${V_{P-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△PBD}}•h=\frac{{\sqrt{7}}}{3}h$，
所以$\frac{{\sqrt{7}}}{3}h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，$h=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．
故點A到平面PBD的距離h為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．

點評 本題以線面垂直為載體，考查面面垂直，考查點面距離，解題的關(guān)鍵是正確運用面面垂直的判定定理，找出表示點面距離的線段．