Question

7．對于函數f（x），若存在實數m，使得f（x+m）-f（m）為R上的奇函數，則稱f（x）是位差值為m的“位差奇函數”．
（1）判斷函數f（x）=2x+1和g（x）=2^x是否為位差奇函數？說明理由；
（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值為$\frac{π}{4}$的位差奇函數，求φ的值；
（3）若f（x）=x³+bx²+cx對任意屬于區(qū)間$[-\frac{1}{2}，+∞）$中的m都不是位差奇函數，求實數b，c滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）根據“位差奇函數”的定義．考查h（x）=g（x+m）-g（m）=2^x+m-2^m=2^m（2^x-1）即可，
 （2）依題意，$f（x+\frac{π}{4}）-f（\frac{π}{4}）=sin（x+\frac{π}{4}+φ）-sin（\frac{π}{4}+φ）$是奇函數，求出φ；
（3）記h（x）=f（x+m）-f（m）=（x+m）³+b（x+m）²+c（x+m）-m³-bm²-cm=x³+（3m+b）x²+（3m²+2bm+c）x．假設h（x）是奇函數，則3m+b=0，此時$b=-3m≤\frac{3}{2}$．故要使h（x）不是奇函數，必須且只需$b＞\frac{3}{2}$．

解答 解：（1）對于f（x）=2x+1，f（x+m）-f（m）=2（x+m）+1-（2m+1）=2x，
∴對任意實數m，f（x+m）-f（m）是奇函數，
即f（x）是位差值為任意實數m的“位差奇函數”；
對于g（x）=2^x，記h（x）=g（x+m）-g（m）=2^x+m-2^m=2^m（2^x-1），
由h（x）+h（-x）=2^m（2^x-1）+2^m（2^-x-1）=0，當且僅當x=0等式成立，
∴對任意實數m，g（x+m）-g（m）都不是奇函數，則g（x）不是“位差奇函數”；
（2）依題意，$f（x+\frac{π}{4}）-f（\frac{π}{4}）=sin（x+\frac{π}{4}+φ）-sin（\frac{π}{4}+φ）$是奇函數，
∴$\frac{π}{4}+φ=kπ⇒φ=kπ-\frac{π}{4}$（k∈Z）．
（3）記h（x）=f（x+m）-f（m）=（x+m）³+b（x+m）²+c（x+m）-m³-bm²-cm
=x³+（3m+b）x²+（3m²+2bm+c）x．
依題意，h（x）對任意$m∈[-\frac{1}{2}，+∞）$都不是奇函數，
若h（x）是奇函數，則3m+b=0，此時$b=-3m≤\frac{3}{2}$．
故要使h（x）不是奇函數，必須且只需$b＞\frac{3}{2}$，且c∈R．

點評 本題考查了函數中的新定義，關鍵是要弄清新定義的本質含義，屬于中檔題．