Question

已知函數(shù)f（x）=（x-p）|x-p|+tlnx（t＜0，p≥0），
（Ⅰ）當t=-1，p=0時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當p=

1

2

 ， t=-

3

2

時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）當p=

t

2

+1時，若f（x）≥

1

9

對于x∈（p，+∞）時恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）當t=-1，p=0時，f（x）=x²-lnx，f′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，由此利用導數(shù)性質能求出函數(shù)f（x）的極值．
（Ⅱ）f（x）=（x-

1

2

）|x-

1

2

|-

3

2

lnx=

(x- 1 2 )2- 3 2 lnx，x≥ 1 2 -(x- 1 2 )2- 3 2 lnx，0＜x＜ 1 2

，由此利用導數(shù)性質能求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．
（Ⅲ）t=2p-2，f（x）=（x-p）|x-p|+（2p-2）lnx，當x＞p時，f（x）=（x-p）²+2（p-1）lnx，由此利用導數(shù)性質能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當t=-1，p=0時，f（x）=x²-lnx
∴f′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，
∵x＞0，∴由f′（x）=0，得x=

2

2

，
當x∈（0，

2

2

）時，f′（x）＜0；當x∈（

2

2

，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）_極小值=f（

2

2

）=

1

2

-ln

2

2

，無極大值．
（Ⅱ）f（x）=（x-

1

2

）|x-

1

2

|-

3

2

lnx
=

(x- 1 2 )2- 3 2 lnx，x≥ 1 2 -(x- 1 2 )2- 3 2 lnx，0＜x＜ 1 2

，
當x≥

1

2

時，f′(x)=2(x-

1

2

)-

3

2x

=2x-1-

3

2x

=

4x2-2x-3

2x

＞0，得x＞

1+ 13

4

，
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（

1+ 13

4

，+∞），
單調遞減區(qū)間是[

1

2

，

1+ 13

4

）；
當0＜x＜

1

2

時，令f′(x)=-2(x-

1

2

)-

3

2x

=-2x+1-

3

2x

=

-4x2+2x-3

2x

＜0，
∴（0，

1

2

）是減區(qū)間，
綜上所述，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（

1+ 13

4

，+∞），
單調遞減區(qū)間是（0，

1+ 13

4

）．
（Ⅲ）t=2p-2，
f（x）=（x-p）|x-p|+（2p-2）lnx，
當x＞p時，f（x）=（x-p）²+2（p-1）lnx，
f′(x)=2(x-p)+

2(p-1)

x

=2•

x2-px+p-1

x

=2•

(x-p+1)(x-1)

x

，
∵t＜0，∴

t

2

+1＜1，即p＜1，p-1＜0，
∴f（x）在（p，1）上單調遞減，（1，+∞）上單調遞增，
f（x）≥

1

9

恒成立，則f（1）=（1-p）²=

t2

4

≥

1

9

，
∵t＜0，∴t≤-

2

3

．
又∵P≥0，∴t≥-2，
綜上所述，-2≤t≤-

2

3

．

點評：本題考查函數(shù)f（x）的極值的求法，考查單調區(qū)間的求法，考查實數(shù)t的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．