Question

已知函數(shù)f（x）=

m2x+ 2

2x+1

是奇函數(shù)．
（1）求m；
（2）求f（x）的值域；
（3）判斷f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）為定義域R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，計(jì)算即可得到m；
（2）將f（x）解析式變量分離，將分子常數(shù)化，再由指數(shù)函數(shù)的值域，由不等式的性質(zhì)，即可得到值域；
（3）運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，即可得到所求的單調(diào)性．

解答： 解：（1）f（x）為定義域R上的奇函數(shù)，
則f（0）=0，即有

m•20+ 2

20+1

=0，解得m=-

2

；
（2）由f（x）=

- 2 (2x-1)

2x+1

=-

2

+

2 2

2x+1

，
由于2^x＞0，2^x+1＞1，0＜

2 2

2x+1

＜2

2

，
則-

2

＜f（x）＜

2

，
即值域?yàn)椋?

2

，

2

）；
（3）由f（x）=

- 2 (2x-1)

2x+1

=-

2

+

2 2

2x+1

，
y=2^x在R上遞增，則

2 2

2x+1

在R上遞減，
故f（x）在R上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用，考查函數(shù)的值域的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．