Question

若函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．例如：f（x）=x²+x-1在R上存在x=1，滿足f（-1）=-f（1），故稱f（x）=x²+x-1為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2bx-4a（a，b∈R），試判斷f（x）是否為“局部奇函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)f（x）=2^x+m是定義在[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）為“局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．解對(duì)應(yīng)的方程，可得結(jié)論；
（2）若f（x）=2^x+m是定義在[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”，即方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，利用換元法可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）為“局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．
f（-x）+f（x）=0，即2a（x²-4）=0     …（3分）
解得x=±2，
∴f（x）為“局部奇函數(shù)”…（5分）
（2）∵f（x）=2^x+m，
∴f（-x）+f（x）=0可轉(zhuǎn)化為2^x+2^-x+2m=0  …（8分）
∵f（x）=2^x+m是定義在[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”，
∴方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，
令t=2^x，（t∈[

1

2

，2]，
∴-2m=t+

1

t

，…（9分）
∵g（t）=t+

1

t

在[

1

2

，1）上遞減，在[1，2]上遞增，
∴g（t）∈[2，

5

2

]…（11分）
∴-2m∈[2，

5

2

]，
即m∈[-

5

4

，-1]…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中正確理解“局部奇函數(shù)”的概念是解答的關(guān)鍵．