如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在橢圓上，且直線MA，MB的斜率之積為-
1
4
．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若點M又在以線段F1F2為直徑的圓上，且△MAB的面積為
2
3
3
，
求橢圓的方程．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）A（-a，0），B（a，0），設(shè)M（x0，y0），由MA，MB的斜率之積為-
1
4
，得到a2=4b2．由此能注出橢圓的離心率．
（2）設(shè)M（x0，y0），由已知條件推導(dǎo)出x02+4y02=a2，x02+y02=
3
4
a2，y02=
4
3a2
，由此能求出橢圓C的標準方程．
解答： 解：（1）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，
∴A（-a，0），B（a，0），
設(shè)M（x0，y0），則
x02
a2
+
y02
b2
=1．
∴kMA•kMB=
y0
x0+a
•
y0
x0-a
=
y02
x02-a2
=
b2(1-
x02
a2
)
x02-a2
=-
b2
a2
，…（4分）
∵MA，MB的斜率之積為-
1
4
，∴a2=4b2．
∵a2=b2+c2，∴a2=4（a2-c2）．∴e2=
3
4
，
∴橢圓的離心率e=
3
2
．…（6分）
（2）設(shè)M（x0，y0），則
x02
a2
+
y02
b2
=1．
由（1）知b2=
1
4
a2，∴
x02
a2
+
4y02
a2
=1，
即x02+4y02=a2．①…（8分）
∵點M又在以線段F1F2為直徑的圓上，∴x02+y02=c2，
∵c2=
3
4
a2，∴x02+y02=
3
4
a2．②…（10分）
又∵S△MAB=
1
2
•2a•|y0| =a|y0| =
2
3
3
，
∴y02=
4
3a2
．③…（12分）
由①，②，③，解得a2=4．
∴橢圓C的標準方程為
x2
4
+y2=1．…（14分）
點評：本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓的標準方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
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設(shè)x＞1，求函數(shù)y=
(x-1)5
(10x-6)9
的最大值．

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（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

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（2）若△ABC的面積為2
3
且sinA=2sinC，求a和c的值．

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化簡：（x
1
2
y
2
3
）-3÷(x-1y-4)
1
2
+(x
a
a-b
)
1
c-a
(x
b
b-c
)
1
a-b
(x
c
c-a
)
1
b-c
．

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兩人約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20：00到21：00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率．

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2
3+cos2θ
，以極點O為原點，以極軸為x軸正向建立直角坐標系，將曲線C1上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標縮短到原來的
1
2
倍后得曲線C2．
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（2）在曲線C2上任取一點R，求點R到直線l：x+y-5=0的距離的最大值．

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命題“?x∈R，x≤1”的否定是
 
．

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