Question

已知函數(shù)f（x）=x-mlnx-1（m∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（Ⅲ）求證：1+

1

2

+

2

3

+…+

n-1

n

＞n-lnn（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（0，1），即可求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（Ⅲ）證明1+

1

2

+

2

3

+…+

n-1

n

＞n-lnn，只要證明

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x-mlnx-1，
∴f′（x）=1-

m

x

=

x-m

x

，
∴m≤0，f′（x）≥0，函數(shù)單調(diào)遞增；m＞0，f′（x）＞0，x＞0，可得x＞m；f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜m，
∴m≤0，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；m＞0，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（m，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（0，m）；
（Ⅱ）當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（0，1），
∴x=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）取得最小值0；
（Ⅲ）證明1+

1

2

+

2

3

+…+

n-1

n

＞n-lnn，
只要證明

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn
①n=2時(shí)，結(jié)論成立；
②設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＜lnk，
則n=k+1時(shí)，

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＜lnk+

1

k+1

，
由（Ⅱ）知當(dāng)x＞0時(shí)恒有f（x）≥0，即x-1≥lnx，
∴l(xiāng)n

k

k+1

＜-

1

k+1

，
∴l(xiāng)nk+

1

k+1

＜ln（k+1），即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②可得

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn，
∴1+

1

2

+

2

3

+…+

n-1

n

＞n-lnn（n≥2，n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法，有難度．