Question

某房地產開發(fā)商投資81萬元建一座寫字樓，第一年維修費為1萬元，以后每年增加2萬元，把寫字樓出租，每年收入租金30萬元．
（Ⅰ）若扣除投資和各種維修費，則從第幾年開始獲取純利潤？
（Ⅱ）若干年后開發(fā)商為了投資其他項目，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時以47萬元出售該樓； ②純利潤總和最大時，以10萬元出售該樓，問哪種方案盈利更多？

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：應用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設第n年獲取利潤為y萬元，n年共收入租金30n萬元．付出裝修費共n+

n(n-1)

2

×2=n2，付出投資81萬元，由此可知利潤y=30n-（81+n²），由y＞0能求出從第幾年開始獲取純利潤．
（Ⅱ）①利用基本不等式進行求解，②純利潤總和最大時，以10萬元出售，利用二次函數(shù)的性質求出最大利潤．

解答： 解：（Ⅰ）設第n年獲取利潤為y萬元
n年共收入租金30n萬元，付出維修費構成一個以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
共n+

n(n-1)

2

×2=n2
因此利潤y=30n-（81+n²），------------（4分）
令y＞0解得：3＜n＜27，
所以從第4年開始獲取純利潤．------------（6分）
（Ⅱ）年平均利潤W=

30n-(81+n2)

n

=30-

81

n

-n≤30-2

81

=12（當且僅當

81

n

=n，即n=9時取等號）
所以9年后共獲利潤：12×9+47=155（萬元）------------（8分）
利潤y=30n-（81+n²）=-（n-15）²+144
所以15年后共獲利潤：144+10=154 （萬元）------------（10分）
方案①獲利多且時間比較短，所以選擇方案①．-------------（12分）

點評：本題考查數(shù)列的性質和應用，同時考查了利基本不等式求函數(shù)的最值，解題時要認真審題，仔細解答．