Question

已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

1

2

，且E上一點到兩焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓E的左焦點F₁作直線l與橢圓E相交于A、B兩點，若S△AOB=

6 2

7

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由已知得到橢圓的長軸長，結合離心率求得半焦距，由b²=a²-c²求得短半軸長，則橢圓的方程可求；
（2）求出橢圓的左焦點，分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論，斜率不存在時直接求出兩交點坐標，求出△AOB的面積與題意不符，斜率存在時設出直線方程，和橢圓方程聯立后利用弦長公式求出弦AB的長度，由點到直線的距離公式求出O到AB的距離，由面積求出直線的斜率，則直線方程可求．

解答： 解：（1）由題意知：2a=4，∴a=2．
又e=

c

a

=

1

2

，∴c=1，∴b²=a²-c²=2²-1²=3．
∴橢圓E的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）知，F₁（-1，0）．
當l⊥x軸時，方程為x=-1，A(-1，

3

2

)，B(-1，-

3

2

)．
S△AOB=

1

2

×1×3=

3

2

，不合題意．
當直線l不垂直于x軸時，設l的方程為y=k（x+1）（k≠0），
聯立

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，消去y得，（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
△=144k²+144＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
則|AB|=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k4 (3+4k2)2 - 4(4k2-12) 3+4k2 ]

=

12(k2+1)

3+4k2

．
又原點O到l的距離為d=

|k|

1+k2

．
∴S△AOB=

1

2

|AB|d=

6(1+k2)|k|

(3+4k2) 1+k2

=

6|k| 1+k2

3+4k2

=

6 2

7

．
化簡得：17k⁴+k²-18=0，即（k²-1）（17k²+18）=0．
解得：k=±1．
∴直線l的方程為y=±（x+1）．

點評：本題考查了橢圓的標準方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，訓練了設而不求的解題思想方法和分類討論的思想方法，訓練了弦長公式的用法，考查了學生的計算能力，是高考試卷中的壓軸題．