Question

已知向量

a

=（-2，5）與向量

b

=（λ，2）不共線，又函數(shù)f（x）=（x

a

+

b

）•（

a

-x

b

）在（0，+∞）有最大值，則λ的取值范圍是（　�。�

• A、λ＜5
• B、-5＜λ＜5
• C、λ＜5，且λ≠-

  4

  5

• D、-5＜λ＜5，且λ≠-

  4

  5

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：化簡f（x）=（x

a

+

b

）•（

a

-x

b

）是一元二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)函數(shù)有最大值需要開口向下對稱軸在y軸右側(cè)．

解答： 解：∵f（x）=（x

a

+

b

）•（

a

-x

b

）=-

a

•

b

x²+（

a

2-

b

2）x+

a

•

b

，
若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有最大值，
則二次函數(shù)f（x）=-

a

•

b

x²+（

a

2-

b

2）x+

a

•

b

的圖象的開口向下，且對稱軸在y軸右側(cè)，
即-

a

•

b

＜0，且

a

2-

b

2＞0，
由于向量

a

=（-2，5）與向量

b

=（λ，2）不共線，
即有-4≠5λ，即λ≠-

4

5

，
則-2λ+10＞0，且4+25-（λ²+4）＞0，
解得-5＜λ＜5，
即λ的取值范圍是：-5＜λ＜5且λ≠-

4

5

．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查向量的運(yùn)算和二次函數(shù)取最值的條件，考查向量的共線和數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，屬于中檔題．