Question

定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x²-2x
（1）當(dāng)x∈[-4，-2]時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-4，-2]時(shí)，f（x）≥

1

2

(

3

t

-t)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的周期性

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先設(shè)x∈[-4，-2]，則x+4∈[0，2]，結(jié)合已知當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x²-2x可求f（x+4），由f（x+4）=f（x+2）=f（x），代入可求f（x）；
（2）由x∈[-4，-2]時(shí)，f（x）=x²+6x+8=（x+3）²-1，結(jié)合而成函數(shù)的性質(zhì)可求f（x）的最小值，而由f（x）≥

1

2

(

3

t

-t)恒成立，可得f（x）_min≥

1

2

(

3

t

-t)，解不等式可求t的范圍．

解答： 解：（1）設(shè)x∈[-4，-2]，則x+4∈[0，2]，
∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x²-2x，
∴f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8，
又∵f（x+2）=f（x），
∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），
∴f（x）=x²+6x+8；
（2）∵x∈[-4，-2]時(shí)，f（x）=x²+6x+8=（x+3）²-1，
當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）_min=f（-3）=-1
則由f（x）≥

1

2

(

3

t

-t)恒成立，可得-1≥

1

2

(

3

t

-t)恒成立，
整理可得，

(t+1)(t-3)

t

≤0
∴-1≤t＜0或t≥3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用已知抽象函數(shù)的關(guān)系求解函數(shù)的解系式，解題的關(guān)鍵是由已知推出f（x+4）=f（x），而函數(shù)的恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的求解，屬于中檔題．