Question

設(shè)F是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，直線l方程為x=-

a2

c

（其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為半焦距），設(shè)直線l與x軸交于P點(diǎn)，MN為橢圓E的長(zhǎng)軸，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)P作直線m與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，求證：∠AFM=∠BFN；
（3）在（2）的條件下，求三角形△ABF面積的最大值及此時(shí)直線m的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，知e=

1

2

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，顯然∠AFM=∠BFN=0，滿足題意，當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)AB方程為x=ky-8，代入橢圓方程整理得：（3k²+4）y²-48ky+144=0．△=576（k²-4），y_A+y_B=

48k

3k2+4

，y_Ay_B=-

144

3k2+4

．由此能夠證明對(duì)于任意的割線PAB，恒有∠AFM=∠BFN．
（3）S△ABF=

72 k2-4

3(k2-4)+16

=

72

3 k2-4 + 16 k2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

，當(dāng)且僅當(dāng)m=±

2 21

3

取到等號(hào)．由此能求出三角形△ABF面積的最大值此時(shí)直線m的方程．

解答： 解：（1）∵|MN|=8，
∴a=4，
又∵|PM|=2|MF|，
∴e=

1

2

，
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

12

=1． （3分）
（2）當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，顯然∠AFM=∠BFN=0，滿足題意，
當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)AB方程為x=ky-8，
代入橢圓方程整理得：（3k²+4）y²-48ky+144=0．
△=576（k²-4），yA+yB=

48k

3k2+4

，y_Ay_B=

144

3k2+4

．
則k_AF+k_BF=

yA

xA+2

+

yB

xB+2

=

yA

kyA-6

+

yB

kyB-6

=

yA(kyB-6)+yB(kyA-6)

(kyA-6)(kyB-6)

=

2kyAyB-6(yA+yB)

(kyA-6)(kyB-6)

，
而2kyAyB-6(yA+yB)=2k•

144

3k2+4

-6（y_A+y_B）=2k•

144

3k2+4

-6•

48k

3k2+4

=0，
∴k_AF+k_BF=0，從而∠AFM=∠BFN．
綜合可知：對(duì)于任意的割線PAB，恒有∠AFM=∠BFN．（8分）
（3）S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF=

1

2

|PF|•|y_B-y_A|=

72 m2-4

3m2+4

，
即：S△ABF=

72 k2-4

3(k2-4)+16

=

72

3 k2-4 + 16 k2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)3

k2-4

=

16

k2-4

，
即k=±

2 21

3

，（此時(shí)適合于△＞0的條件）取到等號(hào)．
∴三角形△ABF面積的最大值是3

3

．
此時(shí)AB方程為x=±

2 21

3

y-8．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．