如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側面BCC1B1內一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是
 
．
考點：直線與平面平行的性質
專題：空間位置關系與距離
分析：分別取棱BB1、B1C1的中點M、N，連接MN，易證平面A1MN∥平面AEF，由題意知點P必在線段MN上，由此可判斷P在M或N處時A1P最長，位于線段MN中點處時最短，通過解直角三角形即可求得．
解答： 解：如下圖所示：
分別取棱BB1、B1C1的中點M、N，連接MN，連接BC1，
∵M、N、E、F為所在棱的中點，∴MN∥BC1，EF∥BC1，
∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四邊形AENA1為平行四邊形，
∴A1N∥AE，又A1N?平面AEF，AE?平面AEF，
∴A1N∥平面AEF，
又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，
∵P是側面BCC1B1內一點，且A1P∥平面AEF，
則P必在線段MN上，
在Rt△A1B1M中，A1M=
A1B12+B1M2
=
1+(
1
2
)2
=
5
2
，
同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=
5
2
，
∴△A1MN為等腰三角形，
當P在MN中點O時A1P⊥MN，此時A1P最短，P位于M、N處時A1P最長，
A1O=
A1M2-OM2
=
(
5
2
)2-(
2
4
)2
=
3
2
4
，
A1M=A1N=
5
2
，
所以線段A1P長度的取值范圍是[
3
2
4
，
5
2
]．
故答案為：[
3
2
4
，
5
2
]．
點評：本題考查點、線、面間的距離問題，考查學生的運算能力及推理轉化能力，屬中檔題，解決本題的關鍵是通過構造平行平面尋找P點位置．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列函數(shù)中，在（0，+∞）上是單調遞增的偶函數(shù)的是（　�。�
A、y=cosx
B、y=x3
C、y=ex+e-x
D、y=log
1
2
x2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若1+
tanA
tanB
=
2c
b
，則A=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M={x|-1≤x≤1，x∈Z}，N={0，1，2}，則M∩N為（　　）
A、{1}
B、{0，1，2}
C、{x|0≤x≤1}
D、{0，1}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的左焦點，直線l方程為x=-
a2
c
（其中a為橢圓的長半軸長，c為半焦距），設直線l與x軸交于P點，MN為橢圓E的長軸，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）過點P作直線m與橢圓E交于A，B兩點，求證：∠AFM=∠BFN；
（3）在（2）的條件下，求三角形△ABF面積的最大值及此時直線m的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）對任意的x∈R滿足f（-x）=-f（x），當x≥0時，f（x）=x2-2x，則不等式xf（x）＞0的解集是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題正確的是（　　）
A、若向量
a
與向量
b
的方向相反，則稱向量
a
為向量
b
的相反向量
B、若向量
a
與向量
b
的模相等，則稱向量
a
與向量
b
為相等向量
C、若向量
a
的模等于0，則向量
a
等于0
D、若向量
a
是單位向量，則向量
a
的模等于1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}公差不為零，前n項和為Sn，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，S5=3a4+4．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{bn}滿足bn=an•(
1
3
)n，求數(shù)列{bn}前n項和為Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

六個人站成一排照相，其中甲乙一定不能站在一起的排法種數(shù)有
 
種．

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同步練習冊答案