Question

某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖，其中成績分組區(qū)間如下：

組號	第一組	第二組	第三組	第四組	第五組
分組	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]

（Ⅰ）求圖中a的值；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分；
（Ⅲ）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生，將該樣本看成一個總體，從中隨機(jī)抽取2名，求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率？

Answer 1

考點(diǎn)：分層抽樣方法,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)所以概率的和為1，即所求矩形的面積和為1，建立等式關(guān)系，可求出所求；
（2）均值為各組組中值與該組頻率之積的和；
（3）先分別求出3，4，5組的人數(shù)，再利用古典概型知識求解．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．…（3分）
（Ⅱ）由直方圖分?jǐn)?shù)在[50，60]的頻率為0.05，[60，70]的頻率為0.35，[70，80]的頻率為0.30，
[80，90]的頻率為0.20，[90，100]的頻率為0.10，所以這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分的估計值為：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5
…（6分）
（Ⅲ）由直方圖，得：
第3組人數(shù)為0.3×100=30，
第4組人數(shù)為0.2×100=20人，
第5組人數(shù)為0.1×100=10人．
所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，

每組分別為：
第3組：

30

60

×6=3人，
第4組：

20

60

×6=2人，
第5組：

10

60

×6=1人．
所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．…（9分）
設(shè)第3組的3位同學(xué)為A₁，A₂，A₃，第4組的2位同學(xué)為B₁，B₂，第5組的1位同學(xué)為C₁，則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有15種可能如下：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₃），（A₂，A₃），（A₁，B₁），（（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₁，C₁），（A₂，C₁），（A₃，C₁），（B₁，C₁），（B₂，C₁），
其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于9（0分）的情形有：（A₁，C₁），（A₂，C₁），（A₃，C₁），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共5種．…（13分）
所以其中第4組的2位同學(xué)至少有一位同學(xué)入選的概率為

5

15

=

1

3

…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查頻率分布直方圖，平均數(shù)的求法和古典概率．