Question

已知圓C的方程為，過(guò)點(diǎn)M（2，4）作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，
直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓T：（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線l：y＝kx＋（k＞0）與橢圓T相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

（1）；（2）1.

試題分析：（1）思路一：由題設(shè)可知，過(guò)點(diǎn)M（2，4）作圓C的兩條切線中有一條斜率不存在，方程為，另一條斜率存在，可首先設(shè)出這條切線的斜率，利用圓的切線的性質(zhì)列方程確定斜率值從而得到切線方程，最后利用直線與圓的方程組成方程組，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，即橢圓的頂點(diǎn)，進(jìn)而求得橢圓的方程.
思路二：利用結(jié)論：設(shè)為圓外一定點(diǎn)，是圓的兩條切線，其中為切點(diǎn)，則直線的方程為：直接求直線的方程，以下同.
（2）利用直線與圓的方程聯(lián)立所得方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，求出用表示的弦長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出△OPQ的底邊上的高，從而將△OPQ面積表示成的函數(shù)，最后用基本不等式求出其最大值.
試題解析：（1）由題意：一條切線方程為：，設(shè)另一條切線方程為： 
則：，解得：，此時(shí)切線方程為：    2分
切線方程與圓方程聯(lián)立得：，則直線的方程為 
令，解得，∴；令,得,∴
故所求橢圓方程為            6分
（2）聯(lián)立整理得，
令，，則，，
，即：                
原點(diǎn)到直線的距離為，               8分
，
∴[
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則面積的最大值為1．         12分