Question

5．已知tanα=$\sqrt{2}$，cos（α+β）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），則tanβ=2$\sqrt{2}$；2α+β=π．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sin（α+β），tan（α+β），利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tanβ，進而利用二倍角的正切函數(shù)公式可求tan2α，利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tan（2α+β），結合范圍2α+β∈（0，$\frac{3π}{2}$），利用正切函數(shù)的性質可求2α+β=π．

解答 解：∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（α+β）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴α+β∈（0，π），
∴sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵tanα=$\sqrt{2}$，
∴tan（α+β）=$\frac{sin（α+β）}{cos（α+β）}$=-$\sqrt{2}$=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\sqrt{2}+tanβ}{1-\sqrt{2}tanβ}$，
∴解得：tanβ=2$\sqrt{2}$，
∵tan2$α=\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-2$\sqrt{2}$，
∴tan（2α+β）=$\frac{tan2α+tanβ}{1-tan2αtanβ}$=0，
又∵2α+β∈（0，$\frac{3π}{2}$），
∴2α+β=π．
故答案為：2$\sqrt{2}$，π．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的正切函數(shù)公式，正切函數(shù)的性質的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．