Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值．
（2）若對(duì)任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)k的值．
（2）若對(duì)任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+k•2^-x是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即1+k=0，
∴k=-1．
（2）∵x∈[0，+∞），均有f（x）＞2^-x，
即2^x+k•2^-x＞2^-x成立，k＞1-2^2x，
∴對(duì)x≥0恒成立，∴k＞[1-（2^2x）]_max．
∵y=1-（2^2x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，
∴[1-（2^2x）]_max=1-1=0，∴k＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)恒成立問題，利用指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．