Question

已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)）有極值，且在處的切線與直線平行.

   （Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

   （Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)的極小值為1，若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由；

   （Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)在上的符號，

并證明： 。

Answer 1

已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)）有極值，且在處的切線與直線平行.

   （Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

   （Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)的極小值為1，若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由；

   （Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)在上的符號，

并證明： 。

解：（Ⅰ）

        由題意

                        

      

            ②

       由①、②可得，

       故實(shí)數(shù)a的取值范圍是            

（Ⅱ）存在   

       由（1）可知，

       ，且

	+	0	－	0	+
	單調(diào)增	極大值	單調(diào)減	極小值	單調(diào)增

       ，

      

              

      

的極小值為1

（Ⅲ）由

即

故，

則在上是增函數(shù)，故，

所以，在上恒為正。

（注：只判斷符號，未說明理由的，酌情給分）

當(dāng)時，，設(shè)，則

即，  

上式分別取的值為1、2、3、……、累加得：

，（）

，（）

，（）

，（）

即，，（）

又當(dāng)時，，

故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。1