Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C₁和直線C₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ，ρ=

4b

bcosθ+4sinθ

（b∈R）．
（1）求圓C₁和直線C₂的直角坐標(biāo)方程，并求直線C₂被圓C₁所截的弦長；
（2）過原點(diǎn)O作直線C₂的垂線，垂足為點(diǎn)A，求線段OA的中點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把圓C₁ 和直線C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求得弦心距為d，再利用弦長公式求得弦長．
（2）設(shè)線段OA的中點(diǎn)M（x，y），曲線C₂于x軸的交點(diǎn)D，由

OA

⊥

DA

，

OA

•

DA

=0求得點(diǎn)M的軌跡方程，再把它化為參數(shù)方程．

解答： 解：（1）圓C₁ 的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ，化為直角坐標(biāo)方程為 （x-2）²+y²=4，
表示以（2，0）為圓心，半徑等于2的圓．
直線C₂的極坐標(biāo)方程 ρ=

4b

bcosθ+4sinθ

（b∈R）化為直角坐標(biāo)方程為 bx+4y-4b=0，
求得弦心距為 d=

|2b+0-4b|

b2+16

=

2|b|

b2+16

，故弦長為2

r2-d2

=

16

b2+16

．
（2）設(shè)線段OA的中點(diǎn)M（x，y），
則點(diǎn)A（2x，2y），設(shè)曲線C₂于x軸的交點(diǎn)D，則點(diǎn)D（4，0）．
∴

OA

=（2x，2y），

DA

=（2x-4，2y），
∵

OA

⊥

DA

，∴

OA

•

DA

=4x（x-2）+4y²=0．
化簡可得 （x-1）²+y²=1，即點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為

x=1+cosα y=sinα

 （α為參數(shù)，0≤α＜2π）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、把直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程的方法，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．