Question

如圖所示，矩形ABCD的邊AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，現(xiàn)有數(shù)據(jù)：
①a=

3

2

；②a=1；③a=

3

；④a=2；⑤a=4；
（1）當(dāng)在BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD時，a可能取所給數(shù)據(jù)中的哪些值？請說明理由；
（2）在滿足（1）的條件下，a取所給數(shù)據(jù)中的最大值時，求直線PQ與平面ADP所成角的正值；
（3）記滿足（1）的條件下的Q點為Q_n（n=1，2，3，…），若a取所給數(shù)據(jù)的最小值時，這樣的Q有幾個？試求二面角Q_n-PA-Q_n+1的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)
（1）求出

PQ

=（a，x，-2），

QD

=（-a，2-x，0）利用

PQ

•

QD

=0，求出a即可．
（2）求出

PQ

以及平面ADP的一個法向量，通過向量的數(shù)量積求解PQ與平面ADP所成角．
（3）判斷∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．利用cos＜

AQ1

，

AQ2

＞，求解二面角Q₁-PA-Q₂的大�。�

解答： 解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)分別為：
A（0，0，0，），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），設(shè)Q（a，x，0）．（0≤x≤2）
（1）∵

PQ

=（a，x，-2），

QD

=（-a，2-x，0）
∴由PQ⊥QD得

PQ

•

QD

=0，即-a²+2（2-x）=0，解得：a²=x（2-x）
∵x∈[0，2]，a²=x（2-x）∈（0，1]，
∴在所給數(shù)據(jù)中，a可取a=

3

2

和a=1兩個值．
（2）由（1）知a=1，此時x=1，即Q為BC中點，∴點Q的坐標(biāo)為（1，1，0）
從而

PQ

=（1，1，-2），又

AB

=（1，0，0）為平面ADP的一個法向量，
∴cos＜

PQ

，

AB

＞=

PQ • AB

| PQ || AB |

=

1

6 ×1

=

6

6

，sin＜

PQ

，

AB

＞=

30

6

，
∴PQ與平面ADP所成角的正切值為

5

5

．
（3）由（1）知a=

3

2

，此時x=

1

2

或x=

3

2

，即滿足條件的點Q有兩個，
其坐標(biāo)為Q₁（

3

2

，

1

2

，0），Q₂（

3

2

，

3

2

，0），
PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，∴∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．
由cos＜

AQ1

，

AQ2

＞=

AQ1 • AQ2

| AQ1 || AQ2 |

=

3 4 + 3 4

1× 3

=

3

2

，得∠Q₁AQ₂=30°，
∴二面角Q₁-PA-Q₂的大小為30°．

點評：本題考查空間向量求解二面角的大小，直線與平面所成角，直線的垂直的判斷與應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，空間想象能力．