Question

若函數(shù)f（x）=xcosx在（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為a₁，a₂，…，a_n，…，則對(duì)任意正整數(shù)n必有（　�。�

• A、π＜a_n+1-a_n＜

  3π

  2

• B、

  π

  2

  ＜a_n+1-a_n＜π
• C、0＜a_n+1-a_n＜

  π

  2

• D、-

  π

  2

  ＜a_n+1-a_n＜0

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系，結(jié)合圖象，確定a_n…，的關(guān)系即可求．

解答： 解：f′（x）=cosx-xsinx，
由f′（x）=0得x=

1

tanx

，
設(shè)x₀＞0是f′（x）=0的任意正實(shí)根，則存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k，
使x₀∈（

π

2

+kπ，π+kπ），即x₀在第二或第四象限內(nèi)，
則滿足f′（x）=0的正根x₀都是f（x）的極值點(diǎn)．
設(shè)函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為a₁＜a₂＜…＜a_n…，
則

π

2

+（n-1）π＜a_n＜π+（n+1）π，

π

2

+nπ＜a_n+1＜π+nπ，
則

π

2

＜a_n+1-a_n＜

3π

2

∵a_n+1-a_n=

1

tanan+1

-

1

tanan

=

tanan-tanan+1

tanantanan+1

=-（1+tana_n+1•tana_n）tan（a_n+1-a_n）

1

tanantanan+1

，
∵tana_n+1-tana_n＞0，
∴tan（a_n+1-a_n）＜0，
∴a_n+1-a_n必在第二象限，即a_n+1-a_n＜π，
綜上

π

2

＜a_n+1-a_n＜π．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，以及函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度較大．