Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x+1|．
（1）求不等式|2x+1|-f（x）＜1的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥|a-x|+2的解集為非空集合，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，解不等式，綜合討論結(jié)果，可得答案；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，求出|x+1|-|a-x|的最大值，進(jìn)而可得滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）不等式|2x+1|-f（x）＜1，即不等式|2x+1|-|x+1|＜1，
x≤-1，不等式化為-2x-1+x+1＜1，∴x＞-1，無解；
-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，不等式化為-2x-1-x-1＜1，∴x＞-1，∴-1＜x＜-$\frac{1}{2}$；
x≥-$\frac{1}{2}$，不等式化為2x+1-x-1＜1，∴x＜1，∴-$\frac{1}{2}$≤x＜1，
綜上所述，不等式的解集為{x|-1＜x＜1}；
（2）|x+1|-|a-x|≤|（x+1）+（a-x）|=|a+1|，
若關(guān)于x的不等式f（x）≥|a-x|+2的解集為非空集合，則|a+1|≥2，
解得：a∈（-∞，-3）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，絕對(duì)值三角不等式，難度中檔．