Question

已知向量

a

=（1+cosωx，1），

b

=（1，a+

3

sinωx）（ω為常數(shù)且ω＞0），函數(shù)f（x）=

a

•

b

在R上的最大值為2．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6ω

個單位，可得函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）在[0，

π

4

]上為增函數(shù)，求ω取最大值時的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）通過向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)，化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過函數(shù)的最大值，即可求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）通過函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6ω

個單位，可得函數(shù)y=g（x）的圖象，利用y=g（x）在[0，

π

4

]上為增函數(shù)，以及函數(shù)的周期，即可求ω取最大值，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=1+cosωx+a+

3

sinx=2sin（ωx+

π

6

）+a+1，…（3分）
∵函數(shù)f（x）在R上的最大值為2，
∴3+a=2故a=-1…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=2sin（ωx+

π

6

），
把函數(shù)f（x）=2sin（ωx+

π

6

）的圖象向右平移

π

6ω

個單位，可得函數(shù)y=g（x）=2sinωx…（7分）
又∵y=g（x）在[0，

π

4

]上為增函數(shù)，
∴g（x）的周期T=

2π

ω

≥π即ω≤2．
∴ω的最大值為2…（10分）
此時單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈Z…（12分）

點評：本題考查向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)就三角函數(shù)的圖象的平移，函數(shù)的基本性質(zhì)，考查計算能力．