Question

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,對(duì)任意實(shí)數(shù),都有.

（1）若， ，且，求， 的值；

（2）若為常數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，

①驗(yàn)證函數(shù)滿(mǎn)足題中的條件；

②若函數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) ， .（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）先判斷出函數(shù)為奇函數(shù)， ， ，解方程組即可得到答案；（2）①根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出a的值，進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算f（x）+f（y）與.并進(jìn)行比較，可得答案；②把函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

試題解析：

（1）對(duì)題中條件取，得，

再取，得，則，

即函數(shù)在內(nèi)為奇函數(shù).

所以，

又，

解得， .

（2）由函數(shù)是奇函數(shù)，得，則

此時(shí)，滿(mǎn)足函數(shù)是奇函數(shù)，且有意義.

①由，得，則對(duì)任意實(shí)數(shù),

有，

，

所以.

②由，得，令則

作出圖像

由圖可知，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)，對(duì)應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)，對(duì)應(yīng)只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)， ， ，

由

得在時(shí)， ，三個(gè)分別對(duì)應(yīng)一個(gè)零點(diǎn)，共3個(gè)，

在時(shí)， ，三個(gè)分別對(duì)應(yīng)1個(gè)，1個(gè)，3個(gè)零點(diǎn)，共5個(gè).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有1零點(diǎn)；

當(dāng) 或時(shí)，函數(shù)有3零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5點(diǎn).