Question

4．設(shè)雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上、下焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)點(diǎn)F₁的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且|QF₁|-|PF₁|=2a，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)|PF₁|=m，|QF₁|=2a+m，則|PF₂|=2a+m，|QF₂|=4a+m，在直角△PF₂Q中，利用勾股定理，求出m=a，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)|PF₁|=m，|QF₁|=2a+m，則|PF₂|=2a+m，|QF₂|=4a+m，
在直角△PF₂Q中，（4a+m）²=（2a+m）²+（2a+2m）²，化簡(jiǎn)得m=a，
∴|PF₁|=a，|PF₂|=3a，|F₁F₂|=$\sqrt{10}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，考查勾股定理的運(yùn)用，屬于中檔題．