Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁＜2，a_n+1-1=a_n（a_n-1）（n∈N ^*）且

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

=1，則a₂₀₁₅-4a₁的最小值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：由題意可知：a₁＜2，a_n≠1，a_n≠0．由a_n+1-1=a_n（a_n-1）可得

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

．利用“裂項求和”可得a2015=

1

2-a1

，a₂₀₁₅-4a₁=

1

2-a1

+4（2-a₁）-8，再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：由題意可知：a₁＜2，a_n≠1，a_n≠0．
由a_n+1-1=a_n（a_n-1）可得

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

．
∴1=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+…+(

1

a2014-1

-

1

a2015-1

)=

1

a1-1

-

1

a2015-1

．
化為a2015=

1

2-a1

，
∴a₂₀₁₅-4a₁=

1

2-a1

+4（2-a₁）-8≥2

4(2-a1)• 1 2-a1

-8=-4，當且僅當a₁=

3

2

時取等號．
故a₂₀₁₅-4a₁的最小值為-4．
故答案為：-4．

點評：本題考查了“裂項求和”、數(shù)列變形、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．