Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點(diǎn)P（-1，2），傾斜角為$\frac{3π}{4}$．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）記直線l和曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，求|PA|+|PB|，|PA|•|PB|

Answer 1

分析 （1）由直線l過點(diǎn)P（-1，2），傾斜角為$\frac{3π}{4}$，可得：直線l的參數(shù)方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得：t²+5$\sqrt{2}$t+9=0，利用參數(shù)的幾何意義，求|PA|+|PB|，|PA|•|PB|．

解答 解：（1）直線l過點(diǎn)P（-1，2），傾斜角為$\frac{3π}{4}$，參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4x．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得：t²+5$\sqrt{2}$t+9=0，
∴t₁+t₂=-5$\sqrt{2}$，t₁t₂=9．
∴|PA|+|PB|=5$\sqrt{2}$，|PA|•|PB|=9．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．