Question

如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P，Q，R分別是棱B₁C₁，AD，AB的中點(diǎn)，作出過(guò)這三點(diǎn)的截面，并求這個(gè)截面的周長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

分析：三個(gè)不共線(xiàn)的點(diǎn)可確定一個(gè)平面．畫(huà)出平面PQR與正方體各棱及延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)，連接交點(diǎn)即為截面． 　　解：如上圖，連接QR并延長(zhǎng)，分別與CB，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則BE＝DF＝a． 　　連接PE，交BB1于點(diǎn)M，則M為BB1的中點(diǎn)，連接RM．在平面A1B1C1D1中，取D1C1的中點(diǎn)S，連接PS，易證得PS∥QR．故點(diǎn)S必在平面PQR內(nèi)． 　　連接SF，交DD1于點(diǎn)T，則T為DD1的中點(diǎn)，連接TQ，則六邊形PMRQTS為過(guò)三點(diǎn)P，Q，R的截面． 　　由于P，M，R，Q，T，S分別為各棱的中點(diǎn)， 　　故六邊形PMRQTS為正六邊形，且邊長(zhǎng)為a， 　　所以六邊形PMRQTS的周長(zhǎng)為6×a＝3a． 　　點(diǎn)評(píng)：作截面時(shí)，要依靠線(xiàn)面平行、面面平行等知識(shí)點(diǎn)找交點(diǎn)、交線(xiàn)．