Question

4．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，求|$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$|；
（Ⅱ）若（2$\overrightarrow{a}-b$）$•（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=3，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{3}$時(shí)，容易求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1$，從而根據(jù)$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}}$即可求出$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|$的值；
（Ⅱ）根據(jù)條件及$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）=3$即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，從而由向量夾角的余弦公式即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值，從而得出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos\frac{π}{3}=1×2×\frac{1}{2}=1$；
∴$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}}$
=$\sqrt{1+4+16}$
=$\sqrt{21}$；
（Ⅱ）$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）=6{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow-{\overrightarrow}^{2}$=$6-\overrightarrow{a}•\overrightarrow-4=3$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-1$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=-\frac{1}{2}$；
∵$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞∈[0，π]$；
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，根據(jù)$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}}$求$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|$的方法，向量夾角的余弦公式，以及向量夾角的范圍．