Question

設(shè)a＞0，a≠1，函數(shù)y=a^{lg（x2-2x+3）}有最大值，求函數(shù)f（x）=log_a（3-2x-x²）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得0＜a＜1，令u=3-2x-x²，x∈（-3，1），則y=log_au，通過求函數(shù)u的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：設(shè)t=lg（x²-2x+3）=lg[（x-1）²+2]，當(dāng)x=1時(shí)，t有最小值lg2．
又因?yàn)楹瘮?shù)y=a^{lg（x2-2x+3）}有最大值，所以，0＜a＜1．
由3-2x-x²＞0，求得f（x）=log_a（3-2x-x²）的定義域?yàn)閧x|-3＜x＜1}，
令u=3-2x-x²，x∈（-3，1），則y=log_au．
因?yàn)閥=log_au在定義域內(nèi)是減函數(shù)，當(dāng)x∈（-3，-1]時(shí)，u=-（x+1）²+4是增函數(shù)，
所以f（x）在（-3，-1]上是減函數(shù)．同理，f（x）在[-1，1）上是增函數(shù)．
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-3，-1]，單調(diào)增區(qū)間為[-1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．