Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+2cos²x．
（1）求f（x）的對稱軸方程；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）對任意x∈?，都有g(shù)（x）=g（x+

π

2

），且當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，g（x）=f（x）-1，求g（x）在區(qū)間[-π，0]上的解析式．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)求得函數(shù)的對稱軸返程．
（2）先求得g（x）的表達(dá)式，進(jìn)而對x進(jìn)行分類討論，分別求得g（x）的解析式．

解答： 解：證明：（1）∵f(x)=

2

(sin2xcos

π

4

-cos2xsin

π

4

)+1+cos2x=1+sin2x，
∴由2x=kπ+

π

2

，(k∈z)得f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

4

，(k∈z)
（2）當(dāng)時x∈[0，

π

2

]時，g（x）=f（x）-1=1+sin2x-1=sin2x，故
①當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時，x+

π

2

∈[0，

π

2

]…（7分）∵對任意x∈?，都有g(x)=g(x+

π

2

)∴g(x)=g(x+

π

2

)=sin[2(x+

π

2

)]=sin(2x+π)=-sin2x，
②當(dāng)x∈[-π，-

π

2

]時，x+π∈[0，

π

2

]，從而…（11分）g（x）=g（x+π）=sin[2（x+π）]=sin（2x+2π）=sin2x，
綜合①②得：g（x）在區(qū)間[-π，0]上的解析式為g(x)=

sin2x，x∈[-π，- π 2 ] -sin2x，x∈[- π 2 ，0]

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生分析和推理的能力．