Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜1
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）若f（4）=5，不等式f（cosx²+asinx-2）＞3對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x₁=x₂=0，即可求出f（0）；
（2）令x₁＞x₂則x₁-x₂＞0，f（x₁-x₂）＜1，由條件令x₁+x₂=0，得到f（-x₂）=2-f（x₂），由單調(diào)性的定義即可得證；
（3）由f（4）=5，結(jié)合條件求出f（2）=3，根據(jù)單調(diào)性得到sin²x-asinx+3＞0，討論sinx的范圍，運(yùn)用參數(shù)分離根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)，即可得到a的取值范圍．

解答： （1）解：令x₁=x₂=0，則2f（0）-1=f（0）即f（0）=1；
（2）證明：令x₁＞x₂則x₁-x₂＞0，f（x₁-x₂）＜1，
即有f（x₁）+f（-x₂）-1＜1，
又令x₁+x₂=0則f（x₁）+f（x₂）-1=1，
即f（x₁）+f（x₂）=2 即f（-x₂）=2-f（x₂），
∴f（x₁）+2-f（x₂）＜2 即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）解：∵f（4）=5
∴2f（2）-1=f（4）=5即f（2）=3，
∴f（cos²x+acosx-2）＞3=f（2）
∵f（x）在R上為減函數(shù)，
∴cos²x+asinx-2＜2即sin²x-asinx+3＞0，
當(dāng)sinx=0時(shí) 不成立；
當(dāng)sinx∈（0，1]時(shí) a＜sinx+

3

sinx

，
∴sinx=1時(shí)取最小為4 即a＜4；
當(dāng)sinx∈[-1，0）時(shí)a＞sinx+

3

sinx

，
當(dāng)sinx=-1時(shí) 取最大且為-4 即a＞-4；
∴a的取值范圍為（-4，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，注意定義的運(yùn)用，同時(shí)考查抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，以及不等式恒成立問題的常用解決方法：參數(shù)分離法，是一道綜合題．