Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）²，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)a₁=0，a_n=a_n+1+

f(an)

f′(an)

．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=na_n+n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，推出數(shù)列的遞推關(guān)系式，推出數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，然后求出通項(xiàng)公式．
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和即可．

解答： （1）證明：由a_n=a_n+1+

f(an)

f′(an)

，得a_n=a_n+1+

(an+1)2

2(an+1)

，
所以a_n+1=

1

2

a_n-

1

2

，即a_n+1+1=

1

2

（a_n+1）．
故數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
所以a_n+1=（

1

2

）^n-1，即a_n=（

1

2

）^n-1-1.6分
（2）解：由（1）得b_n=na_n+n=n（

1

2

）^n-1．
故S_n=1×（

1

2

）⁰+2×（

1

2

）¹+…+（n-1）（

1

2

）^n-2+n（

1

2

）^n-1，①
則

1

2

S_n=1×（

1

2

）¹+2×（

1

2

）²+…+（n-1）（

1

2

）^n-1+n（

1

2

）ⁿ，②
①-②得

1

2

S_n=（

1

2

）⁰+（

1

2

）¹+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1-n（

1

2

）ⁿ=2-

n+2

2n

，12分．
∴S_n=4-

n+2

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查計(jì)算能力．