Question

已知函數(shù)f（x）=x^m-

1

x

（m∈R）經(jīng)過點(diǎn)（3，

8

3

）．
（1）求實(shí)數(shù)m及f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）在[1，+∞）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，

8

3

），求得m的值，可得函數(shù)f（x）的解析式，從而得到其定義域．
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，求得它的導(dǎo)數(shù)f′（x）＞0，可得f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=x^m-

1

x

（m∈R）經(jīng)過點(diǎn)（3，

8

3

），
可得3^m-

1

3

=

8

3

，求得 m=1，∴函數(shù)f（x）=x-

1

x

，其定義域?yàn)閧x|x≠0}．
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，∵f′（x）=1+

1

x2

＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，奇函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．