Question

已知函數(shù)f（x）=

|a-1|

a2-9

（a^x-a^-x）（a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：首先證明函數(shù)a^x-a^-x的增減性，然后去絕對(duì)值得到函數(shù)f（x），由函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)可得：
當(dāng)a＞1時(shí)，

a-1

a2-9

＞0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

1-a

a2-9

＜0．由此求得a的范圍．

解答： 解：設(shè)x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則ax1-a-x1-(ax2-a-x2)
=ax1-ax2-

1

ax1

+

1

ax2

=(ax1-ax2)(1+

1

ax1ax2

)．
當(dāng)a＞1時(shí)，由x₁＜x₂，得ax1-ax2＜0，則函數(shù)a^x-a^-x為增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由x₁＜x₂，得ax1-ax2＞0，則函數(shù)a^x-a^-x為減函數(shù)．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）=

|a-1|

a2-9

（a^x-a^-x）=

a-1

a2-9

(ax-a-x)，
要使此函數(shù)為增函數(shù)，則

a-1

a2-9

＞0，解得：-3＜a＜1或a＞3，
∴a＞3；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）=

|a-1|

a2-9

（a^x-a^-x）=

1-a

a2-9

(ax-a-x)，
要使此函數(shù)為增函數(shù)，則

1-a

a2-9

＜0，解得：-3＜a＜1或a＞3，
∴0＜a＜1．
綜上可得a的范圍為{a|a＞3，或0＜a＜1}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．