Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1與

x

2

+y=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，且e=

3

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得（a²+4b²）y²-8b²y+4b²-a²b²=0．由于橢圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
可得△=0，a²+4b²=4，聯(lián)立

a2+4b2=4 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得即可．

解答： 解：聯(lián)立

x2 a2 + y2 b2 =1 x+2y=2

，化為（a²+4b²）y²-8b²y+4b²-a²b²=0．
∵橢圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=64b⁴-4（a²+4b²）（4b²-a²b²）=0，
化為a²+4b²=4，
聯(lián)立

a2+4b2=4 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=

1

2

．
∴橢圓的方程為：

x2

2

+2y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相切的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．